本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．(文)(2011甘肃天水一中期末)已知a、b为非零实数，且a<b，则下列不等式成立的是( )
A．a21b
C.1ab2<1a2b b="">1a
[答案] C
[解析] ∵a，b为非零实数，且a<b，∴当a＝－5，b＝1时，A、B不成立，当a＝1，b＝2时，D不成立，故选C.
[点评] C可证明如下：∵a，b为非零实数，∴a2b2>0，∵a<b，∴aa2b2<ba2b2，∴1ab2<1a2b.
(理)(2011东北育才期末、辽宁大连市联考)若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.1ab>12 B.1a＋1b≤1
C.ab≥2 D.1a2＋b2≤18
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴ab≤a＋b2＝2，∴ab≤4，∴1ab≥14，
∴1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故A、B、C均错，选D.
[点评] 对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴1a2＋b2≤18.
2．(2011辽宁铁岭六校联考)设a>0，点集S的点(x，y)满足下列所有条件：①a2≤x≤2a；②a2≤y≤2a；③x＋y≥a；④x＋a≥y；⑤y＋a≥x.则S的边界是一个有几条边的多边形( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] C
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形．
3．(2011山东潍坊一中期末)设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③ab＋ba>2.上述三个式子恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；ab＋ba>2或ab＋ba<－2，故选B.
4．(2011巢湖质检)二元一次不等式组x＋y≤2x≥0y≥0所表示的平面区域与圆面x2＋(y－2)2≤2相交的公共区域的面积为( )
A.π8 B.π4
C.π2 D．π
[答案] B
[解析] 画出可行域如图△OAB，它与圆面相交的公共区域为扇形BEF，∵∠OBA＝π4，圆半径为2，
∴扇形面积为S＝12×π4×(2)2＝π4.
5．(2011辽宁沈阳二中检测)已知x－y≤0x＋y≥0y≤a，若Z＝x＋2y的最大值是3，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
[答案] A
[解析] 画出可行域如图，∵z＝x＋2y的最大值为3，∴y＝－x2＋z2经过可行域内的点A(a，a)时，z取到最大值3，∴a＋2a＝3，∴a＝1.
6．(2011福州市期末)已知实数x，y满足x≥1y≤2x－y≤0，则x＋y的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] A
[解析] 画出可行域如图，令u＝x＋y，则当直线y＝－x＋u经过点A(1,1)时，u取最小值2，故选A.
7．(2011蚌埠二中质检)已知M是△ABC内的一点，且AB→AC→＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为12，x，y，则1x＋4y的最小值是( )
A．20 B．18
C．16 D．9
[答案] B
[解析] 由条件知，AB→AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC＝32|AB→||AC→|＝23，∴|AB→||AC→|＝4，
∴S△ABC＝12|AB→||AC→|sin30°＝1，∴x＋y＋12＝1，
∴x＋y＝12(x>0，y>0)，
∴1x＋4y＝21x＋4y(x＋y)＝25＋yx＋4xy≥18，等号在yx＝4xy，即y＝2x时成立，∴x＋y＝12，∴x＝16，y＝13时，1x＋4y取最小值18.
8．(2011陕西宝鸡质检)“x≥3”是“(x－2)x2－2x－3≥0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分与不必要条件
[答案] A
[解析] 由(x－2)x2－2x－3≥0(※)得，x≤－1或x≥3，∴x≥3时，※式成立，但(※)式成立时，不一定有x≥3，故选A.
9．(2011辽宁铁岭六校联考)已知A、B是△ABC的两个内角，若psinA<sin(A＋B)，q：A∈0，π2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] sinA<sin(A＋B)，即sinA<sinC，∴a<c，∴A<C，∴A∈0，π2，但当A∈0，π2时，未必有sinA<sinC，如A＝π3，B＝5π12，C＝π4时不满足sinA<sin(A＋B)．
10．(2011巢湖市质检)定义在R上的函数f(x)对x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，若函数f(x＋1)为奇函数，则不等式f(1－x)<0的解集为( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
[答案] C
[解析] 由条件知f(x)在R上单调递减，∵f(x＋1)为奇函数，∴f(1)＝0，∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x)1，∴x<0.
[点评] 如果F(x)定义域为R，F(x)为奇函数，则必有F(0)＝0，∵F(x)＝f(x＋1)为奇函数，∴有F(0)＝f(1)＝0.
11．(2011北京朝阳区期末、山东日照调研)若A为不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A．913 B．313
C.72 D.74
[答案] D
[解析] 作出平面区域A如图，当a从－2到1连续变化时，动直线y＝－x＋a从l1变化到l2，扫过A中的那部分平面区域为四边形EOFG，其面积S＝S△OBE－S△FGB＝12×2×2－12×1×12＝74.
12．(2011宁夏银川一中检测)设f(x)＝x3＋x，x∈R，当0≤θ≤π2时，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－∞，0)
C．(－∞，12) D．(－∞，1)
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝x3＋x为奇函数且在R上为增函数，∴不等式f(msinθ)＋f(1－m)>0，即f(msinθ)>f(m－1)，即msinθ>m－1在0，π2上恒成立．当m>0时，即sinθ>m－1m恒成立，只要0>m－1m即可，解得0<m<1；当m＝0时，不等式恒成立；当m<0时，只要sinθ<m－1m恒成立，只要1－1，这个不等式恒成立，此时m<0.综上可知：m<1.
[点评] 这里函数性质是隐含在函数解析式中的，其目的是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识．在不等式的恒成立问题中要善于使用参数分类的方法解决问题，本题的解析是对参数取值进行分类，也可以直接使用分离参数的方法求解，即msinθ>m－1可以化为(1－sinθ)m<1，当θ＝π2时，m∈R；当θ≠π2时，m<11－sinθ＝f(θ)，只要m<f(θ)min即可，即只要m<1即可．综合两种情况得到m<1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(文)(2011重庆南开中学模拟)不等式2x2－x<4的解集是________．
[答案] (－1,2)
[解析] 不等式化为2x2－x<22，
∴x2－x<2，∴－1<x<2.
(理)(2011甘肃天水一中期末)不等式x－2x2－4x＋3<0的解集为________．
[答案] (－∞，1)∪(2,3)
[解析] 不等式化为(x－2)(x－1)(x－3)<0，由数轴穿根法易得x<1或2<x<3.
14．(文)(2011江西南昌调研)函数f(x)＝x2－9log2x－1的定义域为________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] 由x2－9≥0x－1>0x－1≠1得x≥3或x≤－3x>1x≠2，∴x≥3.
(理)(2011咸阳市模拟)已知函数f(x)＝1 x≥0－1 x<0，则不等式(x＋1)f(x)<x的解集是________．
[答案] －12，0
[解析] 不等式(x＋1)f(x)<x化为x≥0x＋1<x
或x<0－x＋1<x，∴－12<x<0.
15．(文)(2011厦门期末)不等式组x－2y－2≤02x＋y＋1≥0所确定的平面区域为D，则该平面区域D在圆x2＋(y＋1)2＝4内的面积是________．
[答案] π
[解析] 如图，直线x－2y－2＝0和直线2x＋y＋1＝0的斜率依次为k1＝12，k2＝－2，∵k1k2＝－1，∴两直线互相垂直，故所求面积为S＝14×π×22＝π.
[点评] 若两直线不垂直，可先写出两直线的方向向量，利用向量求得两直线夹角，再求面积．
(理)(2011浙江宁波八校联考)已知x，y满足x≥1x＋y≤4ax＋by＋c≤0且目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则a＋b＋ca＝________.
[答案] －2
[分析] 作出直线x＝1和x＋y＝4，画出不等式组x≥1x＋y≤4表示的平面区域为图中阴影部分，由于目标函数z＝2x＋y最大值为7，最小值为1，∴y＝－2x＋1及y＝－2x＋7分别与直线x＝1及x＋y＝4的交点为最优解，故此二点必在直线ax＋by＋c＝0上．
[解析] 由x＝1y＝－2x＋1得A(1，－1)，
由x＋y＝4y＝－2x＋7得B(3,1)，直线AB：y＋11＋1＝x－13－1，
即x－y－2＝0，此直线即ax＋by＋c＝0，
比较系数得a1＝b－1＝c－2＝a＋b＋c－2，
∴a＋b＋ca＝－2.
16．(2011豫南九校联考)若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，当且仅当ax＝by时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝2x＋91－2x(x∈(0，12))的最小值为________．
[答案] 25
[解析] 依据给出的结论可知f(x)＝42x＋91－2x≥2＋322x＋1－2x＝25等号在22x＝31－2x，即x＝15时成立．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2011四川广元诊断)已知x∈[0,1]时，不等式x2cosθ－x(1－x)＋(1－x)2sinθ>0恒成立，试求θ的取值范围．
[解析] 由题意知：x＝0或x＝1时，原不等式成立
即sinθ>0，cosθ>0，∴θ在第一象限，
∵x∈(0,1)时，x2cosθ＋(1－x)2sinθ≥2x(1－x)sinθcosθ，
∴原不等式成立，只须
2x(1－x)sinθcosθ－x(1－x)>0
注意到x(1－x)>0，∴2sinθcosθ>1
∴sin2θ>12
∴kπ＋π12<θ<kπ＋5π12，
∴θ的取值范围应是kπ＋π12，kπ＋5π12，k∈Z.
18．(本小题满分12分)(文)(2011厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为24m2、墙高为3m，一面靠旧墙的矩形房屋．利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x(单位：m)不得超过a(单位：m)(其平面示意图如下)．已知旧墙的维修费用为150元/m2，新墙的造价为450元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价)．
(1)把房屋总造价y(单位：元)表示成x(单位：m)的函数，并写出该函数的定义域；
(2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
[解析] (1)依题意得：y＝3x(150＋450)＋24x×2×3×450＋5400
＝1800x＋36x＋5400(0<x≤a)
(2)y＝1800x＋36x＋5400≥1800×2x36x＋5400＝21600＋5400＝27000
当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号
若a>6时，则x＝6总进价最低，最低总造价是27000元．
当a≤6时，则y′＝18001－36x2
∴当0<x<6时，y′<0，故函数y＝1800x＋36x＋5400在(0，a]上是减函数，
∴当x＝a时，y有最小值，即最低总造价为1800a＋36a＋5400元
答：当a>6时，x＝6总造价最低，最低总造价是27000元；
当a≤6时，x＝a总造价最低，最低总造价为1800a＋36a＋5400元．
(理)(2011宁夏银川一中模拟)在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/小时)需遵循的关系是d≥12500av2(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d≥a2.
(1)当d＝a2时，求机动车车速的变化范围；
(2)设机动车每小时流量Q＝1000va＋d，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大．
[分析] (1)把d＝a2代入d≥12500av2，解这个关于v的不等式即可；(2)根据d满足的不等式，以最小车距代替d，求此时Q的最值即可．
[解析] (1)由a2＝12500av2得，v＝252，
∴0<v≤252.
(2)由v≤252时，Q＝1000v32a，
Q是v的一次函数，v＝252时，Q最大为5000023a，
当v>252时，Q＝1000a1v＋v2500≤25000a，
∴当v＝50时Q最大为25000a.
[点评] 本题中对车距d有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于252时，两车之间的最小车距是a2，当车速大于252时，两车之间的最小车距是12500av2.
19．(本小题满分12分)(文)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
[解析] (1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，
f ′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f>0.
故f(x)在(－∞，1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.
综合得a的取值范围为(－∞，1]．
(理)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[解析] (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f ′(x)＝ex－2，x∈R.
令f ′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 2(1－ln2＋a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
20．(本小题满分12分)(2011黄冈市期末)已知函数f(x)＝2－xx＋1.
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；
(2)是否存在负数x0，使得f(x0)＝3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，
∵f(x1)－f(x2)＝2－x1x1＋1－2－x2x2＋1＝3x2－3x1x1＋1x2＋1>0，
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
(2)不存在
假设存在负数x0，使得f(x0)＝3x0成立，则∵x0<0，
∴0<3x0<1，即0<f(x0)<1，∴0<2－x0x0＋1<1，
∴－1<x0<2－2x0＋1x0＋1<0－1<x0<2x0<－1或x0>12
12<x0<2与x0<0矛盾，
所以不存在负数x0，使得f(x0)＝3x0成立．
[点评] (2)可另解如下：
f(x)＝－1＋3x＋1，由x0<0得：f(x0)<－1或f(x0)>2但0<3x0<1，所以不存在．
21．(本小题满分12分)(2011北京市朝阳区期末)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f(x)的图像过点(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一个实数根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)若F(x)＝fx x>0，－fx x<0，当mn<0，m＋n>0，a>0，且函数f(x)为偶函数时，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
[解析] (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0.
∵方程f(x)＝0有且只有一个实数根，∴Δ＝b2－4a＝0.
∴b2－4(b－1)＝0.∴b＝2，a＝1.
∴f(x)＝(x＋1)2.
(2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1
＝x－k－222＋1－k－224.
所以当k－22≥2或k－22≤－2时，
即k≥6或k≤－2时，g(x)是单调函数．
(3)f(x)为偶函数，所以b＝0.所以f(x)＝ax2＋1.
所以F(x)＝ax2＋1 x>0，－ax2－1 x<0.
因为mn<0，不妨设m>0，则n<0.
又因为m＋n>0，所以m>－n>0.
所以|m|>|－n|.
此时F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋1－an2－1＝a(m2－n2)>0.
所以F(m)＋F(n)>0.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
[解析] (1)由f(x)的图象经过P(0,2)，知d＝2，
所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
∴f′(－1)＝6，
且－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，
所以3－2b＋c＝6，－1＋b－c＋2＝1.即2b－c＝3，b－c＝0.解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)因为f′(x)＝3x2－6x－3，
令3x2－6x－3＝0，即x2－2x－1＝0，
解得x1＝1－2，x2＝1＋2.
当x<1－2或x>1＋2时，f′(x)>0，
当1－2<x<1＋2时，f′(x)<0，
故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，1－2)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数，在(1＋2，＋∞)内是增函数．
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