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人教版高一上册数学等差数列教案

时间:2017-09-27 编辑:灵玲 手机版

  一、等差数列

  1、定义

  注:“从第二项起”及

  “同一常数”用红色粉笔标注

  二、等差数列的通项公式

  (一)例题与练习

  通过练习2和3 引出两个具体的等差数列,初步认识等差数列的特征,为后面的概念学习建立基础,为学习新知识创设问题情境,激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点,引出等差数列的概念,对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

  (二)新课探究

  1、由引入自然的给出等差数列的概念:

  如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数,这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d来表示。强调:

  ① “从第二项起”满足条件; f

  ②公差d一定是由后项减前项所得;

  ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );

  在理解概念的基础上,由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言,归纳出数学表达式:

  an+1—an=d (n≥1) ;h4z+0"6vG

  同时为了配合概念的理解,我找了5组数列,由学生判断是否为等差数列,是等差数列的找出公差。

  1。 9 ,8,7,6,5,4,……;√ d=—1

  2。 0。70,0。71,0。72,0。73,0。74……;√ d=0。01

  3。 0,0,0,0,0,0,……。; √ d=0

  4。 1,2,3,2,3,4,……;×

  5。 1,0,1,0,1,……×

  其中第一个数列公差<0,>0,第三个数列公差=0

  由此强调:公差可以是正数、负数,也可以是0

  2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

  在归纳等差数列通项公式中,我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ,公差d,由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式,进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成,通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

  若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,

  则据其定义可得:

  a2 — a1 =d 即: a2 =a1 +d

  a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d

  a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d

  ……

  猜想: a40 = a1 +39d

  进而归纳出等差数列的通项公式:

  an=a1+(n—1)d

  此时指出: 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的方法不够严密,为了培养学生严谨的学习态度,在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法:

  a2 – a1 =d

  a3 – a2 =d

  a4 – a3 =d

  ……

  an+1 – an=d

  将这(n—1)个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n—1) d即 an= a1+(n—1) d (1)<t

  当n=1时,(1)也成立,

  所以对一切n∈N﹡,上面的公式都成立

  因此它就是等差数列{an}的通项公式。

  在迭加法的证明过程中,我采用启发式教学方法。

  利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。

  对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。

  在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想,逐步达到“注重方法,凸现思想” 的教学要求

  接着举例说明:若一个等差数列{an}的首项是1,公差是2,得出这个数列的通项公式是:an=1+(n—1)×2 , 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用

  同时要求画出该数列图象,由此说明等差数列是关于正整数n一次函数,其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列,使数列的性质显现得更加清楚。

  (三)应用举例

  这一环节是使学生通过例题和练习,增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用,提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明:要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时,可根据该公式求出另一部分量。

  例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项;第30项;第40项

  (2)—401是不是等差数列—5,—9,—13,…的项?如果是,是第几项?

  在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式;第二问实际上是求正整数解的问题,而关键是求出数列的通项公式an

  例2 在等差数列{an}中,已知a5=10,a12 =31,求首项a1与公差d。

  在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

  例3 是一个实际建模问题

  建造房屋时要设计楼梯,已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米,第三层离地面5。8米,若楼梯设计为等高的16级台阶,问每级台阶高为多少米?

  这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列,引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列:(学生讨论分析,分别演板,教师评析问题。问题可能出现在:项数学生认为是16项,应明确a1为第2层的楼底离地面的高度,a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17,可用展示实际楼梯图以化解难点)

  设置此题的目的:

  1。加强同学们对应用题的综合分析能力,

  2。通过数学实际问题引出等差数列问题,激发了学生的兴趣;

  3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型,最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法

  (四)反馈练习

  1、小节后的练习中的第1题和第2题(要求学生在规定时间内完成)。目的:使学生熟悉通项公式,对学生进行基本技能训练。

  2、书上例3)梯子的最高一级宽33c,最低一级宽110c,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

  目的:对学生加强建模思想训练。

  3、若数例{an} 是等差数列,若 bn = an ,(为常数)试证明:数列{bn}是等差数列

  此题是对学生进行数列问题提高训练,学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

  (五)归纳小结 (由学生总结这节课的收获)

  1。等差数列的概念及数学表达式.

  强调关键字:从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

  2。等差数列的通项公式 an= a1+(n—1) d会知三求一

  3.用“数学建模”思想方法解决实际问题

  (六)布置作业

  必做题:课本P114 习题3。2第2,6 题

  选做题:已知等差数列{an}的首项a1= —24,从第10项开始为正数,求公差d的取值范围。(目的:通过分层作业,提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求)

  五、板书设计

  在板书中突出本节重点,将强调的地方如定义中,“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注,同时给学生留有作题的地方,整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

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