高一数学教案用二分法求方程的近似解

时间：2017-11-05 编辑：诗琴手机版

　　学习目标

　　1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解;

　　2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

　　旧知提示 (预习教材P89~ P91，找出疑惑之处)

　　复习1：什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理?

　　对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点.

　　方程有实数根函数的图象与x轴函数 .

　　如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.

　　复习2：一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程?

　　合作探究

　　探究：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.

　　解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球;

　　第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球;

　　第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

　　思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间?如何找出这个零点?

　　新知：二分法的思想及步骤

　　对于在区间上连续不断且 0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

　　反思：给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢?

　　①确定区间，验证，给定精度

　　②求区间的中点 ;[]

　　③计算：若，则就是函数的零点; 若，则令 (此时零点 ); 若，则令 (此时零点 );

　　④判断是否达到精度即若，则得到零点零点值a(或b);否则重复步骤②~④.

　　典型例题

　　例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.

　　练1. 求方程的解的个数及其大致所在区间.

　　练2.求函数的一个正数零点(精确到 )

　　零点所在区间中点函数值符号区间长度

　　练3. 用二分法求的近似值.

　　课堂小结

　　① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想.

　　知识拓展

　　高次多项式方程公式解的探索史料

　　在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.

　　学习评价

　　1. 若函数在区间上为减函数，则在上( ).

　　A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点

　　C. 没有零点 D. 至多有一个零点

　　2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是().

　　3. 函数的零点所在区间为( ).

　　A. B. C. D.

　　4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 .

　　课后作业

　　1.若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1+x2+x3的值为()

　　A.-1 B.0 C.3 D.不确定

　　2.已知f(x)=-x-x3，x[a，b]，且f(a)f(b)0，则f(x)=0在[a，b]内()