高一数学《三角函数》的教案

时间：2017-09-28 编辑：滢婷手机版

　　高一数学《三角函数》的教案

　　已知三角函数值求角（反正弦，反余弦函数）

　　目的：要求初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。

　　过程：

　　一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。

　　由

　　1在R上无反函数。

　　2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单

　　在上，的反函数称作反正弦函数，

　　记作，（奇函数）。

　　同理，由

　　在上，的反函数称作反余弦函数，

　　记作

　　二、已知三角函数求角

　　首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。

　　已知三角函数值求角是多值的。

　　例一、1、已知，求x

　　解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个

　　∴ （即）

　　2、已知

　　解：，是第一或第二象限角。

　　即（）。

　　3、已知

　　解： x是第三或第四象限角。

　　（即或）

　　这里用到是奇函数。

　　例二、1、已知，求

　　解：在上余弦函数是单调递减的，

　　且符合条件的角只有一个

　　2、已知，且，求x的值。

　　解：， x是第二或第三象限角。

　　3、已知，求x的值。

　　解：由上题：。

　　介绍：∵

　　∴上题

　　例三、（见课本P74-P75）略。

　　三、小结：求角的多值性

　　法则：1、先决定角的象限。

　　2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x；

　　如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，

　　3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。

　　四、作业：P76-77 练习 3

　　习题4.11 1，2 高中语文，3，4中有关部分。

　　延伸阅读：

　　椭圆的方程的教案

　　一、教学内容：椭圆的方程

　　要求：理解椭圆的标准方程和几何性质．

　　重点：椭圆的方程与几何性质．

　　难点：椭圆的方程与几何性质．

　　二、点：

　　1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

　　定义

　　第一定义：平面内与两个定点）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

　　第二定义：

　　平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e．（0<e<1）

　　标准方程

　　焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　图形

　　焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　性质

　　焦点在x轴上

　　范围：

　　对称性：轴、轴、原点．

　　顶点：，．

　　离心率：e

　　概念：椭圆焦距与长轴长之比

　　定义式：

　　范围：

　　2、椭圆中a，b，c，e的关系是：（1）定义：r1＋r2=2a

　　（2）余弦定理：＋－2r1r2cos（3）面积： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（）

　　三、基础训练：

　　1、椭圆的标准方程为，焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__；

　　3、两个焦点的坐标分别为 ___；

　　4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的结果是；

　　满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

　　8、直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 ．

　　【典型例题】

　　例1、（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程．

　　解：设方程为．

　　所求方程为

　　（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程．

　　解：设方程为．

　　所求方程为（3）已知三点P，（5，2），F1 （-6，0），F2 （6，0）．设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程．

　　解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 ∴所以所求椭圆的标准方程为（4）求经过点M（， 1）的椭圆的标准方程．

　　解：设方程为

　　例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）．

　　解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，

　　则 =OA－O = A=6371＋439=6810

　　解得 =7782.5， =972.5

　　卫星运行的轨道方程为

　　例3、已知定圆

　　分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用符号表示此结论：

　　上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

　　解：知圆可化为：圆心Q（3，0），

　　设动圆圆心为，则为半径又圆M和圆Q内切，所以，

　　即，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，故动圆圆心M的轨迹方程是：

　　例4、已知椭圆的焦点是｜和｜（1）求椭圆的方程；

　　（2）若点P在第三象限，且∠ =120°，求．

　　选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题．

　　解：（1）由题设｜｜=2｜｜=4

　　∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴椭圆的方程为．

　　（2）设∠ ，则∠ =60°－θ

　　由正弦定理得：

　　由等比定理得：

　　整理得：故

　　说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

　　例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹（若M分 PP?@之比为，求点M的轨迹）

　　解：（1）当M是线段PP?@的中点时，设动点，则的坐标为

　　因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

　　所以有所以点

　　（2）当M分 PP?@之比为时，设动点，则的坐标为

　　因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有，

　　即所以点

　　例6、设向量 =（1， 0）， =（x＋m）＋y =（x－m）＋y ＋（I）求动点P（x，y）的轨迹方程；

　　（II）已知点A（－1， 0），设直线y= （x－2）与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

　　解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6

　　上式即为点P（x， y）到点（－m， 0）与到点（m， 0）距离之和为6．记F1（－m， 0），F2（m， 0）（0<m<0），则F1F2=2m＜6．

　　∴ PF1＋PF2=6＞F1F2

　　又∵x＞0，∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分．

　　∵ 2a=6，∴a=3

　　又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2

　　∴ 所求轨迹方程为（x＞0，0＜m＜3）

　　（ II ）设B（x1， y1），C（x2， y2），

　　∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2）

　　= [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

　　∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

　　= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]

　　若存在实数m，使得成立

　　则由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=

　　可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①

　　再由

　　消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②

　　因为直线与点P的轨迹有两个交点．

　　所以

　　由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此时△＞0

　　但由⑤，有9m2－77= ＜0与假设矛盾

　　∴ 不存在符合题意的实数m，使得

　　例7、已知C1：，抛物线C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．

　　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

　　（Ⅱ）若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

　　解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）．

　　∵点A在抛物线上，∴

　　此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．

　　（Ⅱ）当C2的焦点在AB上时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x－1）．

　　由（kx－k－m）2= ①

　　因为C2的焦点F（，m）在y=k（x－1）上．

　　所以k2x2－（k2＋2）x＋ =0 ②

　　设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=

　　由

　　（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③

　　由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1＋x2=

　　从而 = k2=6即k=±

　　又m=－ ∴m= 或m=－

　　当m= 时，直线AB的方程为y=－（x－1）；

　　当m=－时，直线AB的方程为y= （x－1）．

　　例8、已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 = ．

　　（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；

　　（Ⅲ）确定解：（Ⅰ）因为A、B分别为直线l：y=ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A（－，0），B（0，a）．

　　由得这里∴M = ，a）

　　即解得

　　（Ⅱ）当时， ∴a=2c

　　由△MF1F2的周长为6，得2a＋2c=6

　　∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3

　　故所求椭圆C的方程为

　　（Ⅲ）∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C．

　　设点F1到l的距离为d，由

　　PF1= =得： =e ∴e2= 于是

　　即当（注：也可设P（x0，y0），解出x0，y0求之）

　　【模拟】

　　一、选择题

　　1、动点M到定点和的距离的和为8，则动点M的轨迹为（）

　　A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线

　　2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

　　A、 C、2－－1

　　3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为（）

　　A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定

　　4、椭圆的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）

　　A、32 B、16 C、8 D、4

　　5、已知点P在椭圆（x－2）2＋2y2=1上，则的最小值为（）

　　A、 C、

　　6、我们把离心率等于黄金比是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则等于（）

　　A、 C、

　　二、填空题

　　7、椭圆的顶点坐标为和，焦点坐标为，焦距为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为．

　　8、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，），使得FP1、FP2、FP3…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是．

　　9、设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则得．

　　10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是

　　三、解答题

　　11、根据下列条件求椭圆的标准方程

　　（1）和椭圆共准线，且离心率为．

　　（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．

　　12、已知轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

　　13、椭圆的焦点为 =（3，－1）共线．

　　（1）求椭圆的离心率；

　　（2）设M是椭圆上任意一点，且 = 、 ∈R），证明为定值．

　　【试题答案】

　　1、B

　　2、D

　　3、A

　　4、B

　　5、D（法一：设，则y=kx代入椭圆方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得：．法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）

　　6、C

　　7、（；（0，）；6；10；8；；．

　　8、 ∪

　　9、

　　10、m＜且m≠0．

　　11、（1）设椭圆方程．

　　解得，所求椭圆方程为（2）由．

　　所求椭圆方程为的坐标为

　　因为点为椭圆上的动点

　　所以有

　　所以中点

　　13、解：设P点横坐标为x0，则为钝角．当且仅当．

　　14、（1）解：设椭圆方程，F（c，0），则直线AB的方程为y=x－c，代入，化简得：

　　x1x2=

　　由 =（x1＋x2，y1＋y2），共线，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，

　　又y1=x1－c，y2=x2－c

　　∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=

　　即 = ，∴ a2=3b2

　　∴ 高中地理，故离心率e= ．

　　（2）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2＋3y2=3b2

　　设 = （x2，y2），∴ ，

　　∵M∴ （）2＋3（）2=3b2

　　即：）＋（由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．

　　x1x2= = 2

　　x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）

　　=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0

　　又 =3b2代入①得

　　为定值，定值为1．

　　如何学高一数学——区别篇

　　和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因为不少同学进入高中之后很不适应,特别是高一年级，进校后，代数里首先遇到的是理论性很强的函数，再加上立体几何，空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，这就使一些初中数学学得还不

　　错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。

　　一、首先要改变观念。

　　初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使你的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。例如在初中问a=2时，a等于什么，在中考中错的人极少，然而进入高中后，老师问，如果a＝2,且a＜0，那么a等于什么，既使是重点学校的学生也会有一些同学毫不思索地回答：a=2。就是以说明了这个问题。又如，前几年北京四中高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。

　　高中数学的理论性、抽象性强，就需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。

　　二、提高听课的效率是关键。

　　学生学习期间，在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，提高听课效率应注意以下几个方面：

　　1、课前预习能提高听课的针对性。

　　预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。

　　2、听课过程中的科学。

　　首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。

　　其次就是听课要全神贯注。

　　全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。

　　耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。

　　眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。

　　心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。

　　口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。

　　手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。

　　若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。

　　3、特别注意老师讲课的开头和结尾。

　　老师讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。

　　4、要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。

　　此外还要特别注意老师讲课中的提示。

　　老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。

　　最后一点就是作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。

　　三、做好复习和总结工作。

　　1、做好及时的复习。

　　课完课的当天，必须做好当天的复习。

　　复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写）尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。

　　2、做好单元复习。

　　学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。

　　3做好单元小结。

　　单元小结内容应包括以下部分。

　　（1）本单元（章）的知识网络；

　　（2）本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；

　　（3）自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

　　四、关于做练习题量的问题

　　有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上。我认为这是不妥当的，我认为，“不要以做题多少论英雄”，重要的不在做题多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习是必要的。而对于中档题，尢其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，你就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量（老师布置的作业量）的练习就不能形成技能，也是不行的。

　　另外，就是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好数学的重要问题。

　　最后想说的是：“兴趣”和信心是学好数学的最好的老师。这里说的“兴趣”没有将来去研究数学，做数学家的意思，而主要指的是不反感，不要当做负担。“伟大的动力产生于伟大的理想”。只要明白学习数学的重要，你就会有无穷的力量，并逐步对数学感到兴趣。有了一定的兴趣，随之信心就会增强，也就不会因为某次考试的成绩不理想而泄气，在不断总结经验和教训的过程中，你的信心就会不断地增强，你也就会越来越认识到“兴趣”和信心是你学习中的最好的老师。

　　平面向量与解析几何的综合

　　一. 教学内容：平面向量与解析几何的综合

　　二. 教学重、难点：

　　1. 重点：

　　平面向量的基本，圆锥曲线的基本。

　　2. 难点：

　　平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。

　　【典型例题

　　[例1] 如图，已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为< > ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率.

　　解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系轴，因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点，由对称性知C、D关于轴对称

　　设A（）B（为梯形的高

　　∴

　　设双曲线为则

　　由（1）：（3）

　　将（3）代入（2）：∴ ∴

　　[例2] 如图，已知梯形ABCD中，，点E满足时，求离心率的取值范围。

　　解：以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系轴。

　　因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性，知C、D关于轴对称高中生物。

　　依题意，记A（）、E（是梯形的高。

　　由

　　得

　　设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和由（1）式，得（3）

　　将（3）式代入（2）式，整理，得故，得解得所以，双曲线的离心率的取值范围为

　　[例3] 在以O为原点的直角坐标系中，点A（）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零，（1）求关于直线OB对称的圆的方程。（3）是否存在实数，使抛物线的取值范围。

　　解：

　　（1）设，则由，即，得或

　　因为

　　所以，故

　　（2）由，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：得圆心（

　　设圆心（）则得，

　　故所求圆的方程为（3）设P（）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

　　得

　　即、于是由故当时，抛物线（3）二：设P（），PQ的中点M（∴ （1）－（2）：代入∴ 直线PQ的方程为

　　∴ ∴

　　[例4] 已知常数，经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（方向向量的直线相交于点P，其中，试问：是否存在两个定点E、F使为定值，若存在，求出E、F的坐标，不存在，说明理由。（2003天津）

　　解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。

　　∵ ∴

　　因此，直线OP和AB的方程分别为和消去参数，得点P（，整理，得

　　① 因为（1）当（2）当时，方程①表示椭圆，焦点E 和F 为合乎题意的两个定点；

　　（3）当时，方程①也表示椭圆，焦点E 和F（）为合乎题意的两个定点。

　　[例5] 给定抛物线C：夹角的大小，（2）设求在轴上截距的变化范围

　　解：

　　（1）C的焦点F（1，0），直线的斜率为1，所以的方程为代入方程）、B（则有

　　所以与

　　（2）设A（）由题设

　　即，由（2）得，

　　∴

　　依题意有）或B（又F（1，0），得直线方程为

　　当或由，可知∴

　　直线在轴上截距的变化范围为

　　[例6] 抛物线C的方程为）（的两条直线分别交抛物线C于A（）两点（P、A、B三点互不相同）且满足（（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程

　　（2）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在轴上

　　（3）当），求解：（1）由抛物线C的方程），准线方程为

　　（2）证明：设直线PA的方程为

　　点P（）的坐标是方程组的解

　　将（2）式代入（1）式得

　　于是，故（3）

　　又点P（）的坐标是方程组的解

　　将（5）式代入（4）式得，故

　　由已知得，，则设点M的坐标为（），由。则

　　将（3）式和（6）式代入上式得

　　即（3）解：因为点P（，抛物线方程为由（3）式知，代入

　　将得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

　　于是，，

　　因即或

　　又点A的纵坐标满足当；当时，所以，

　　[例7] 已知椭圆和点M（的取值范围；如要你认为不能，请加以证明。

　　解：不可能为钝角，证明如下：如图所示，设A（），直线的方程为

　　由得，又，，若为钝角，则

　　即，即

　　即

　　即∴

　　∴

　　【模拟】（答题时间：60分钟）

　　1. 已知椭圆，定点A（0，3），过点A的直线自上而下依次交椭圆于M、N两个不同点，且，求实数的取值范围。

　　2. 设抛物线轴，证明：直线AC经过原点。

　　3. 如图，设点A、B为抛物线，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

　　4. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（）若C满足，其中，求点C的轨迹方程。

　　5. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（）的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

　　（1）求椭圆的方程；

　　（2）设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明；

　　（3）若，求直线PQ的方程。

　　【试题答案】

　　1. 解：因为，且A、M、N三点共线，所以，且，得N点坐标为

　　因为N点在椭圆上，所以即所以

　　由

　　解得2. 证明：设A（）、B（）（），则C点坐标为（、

　　因为A、F、B三点共线，所以，即

　　化简得

　　由，得

　　所以

　　即A、O、C三点共线，直线AC经过原点

　　3. 解：设、、则、

　　∵ ∴

　　即又

　　即（2） ∵ A、M、B三点共线

　　∴

　　即

　　化简得 ③

　　将①②两式代入③式，化简整理，得

　　∵ A、B是异于原点的点 ∴ 故点M的轨迹方程是（）为圆心，以4. 方法一：设C（

　　由，且，

　　∴ 又 ∵ ∴

　　∴ 方法二：∵ ，∴ 点C在直线AB上 ∴ C点轨迹为直线AB

　　∵ A（3，1）B（） ∴ 5. 解：（1）；（2）A（3，0），

　　由已知得注意解得，因F（2，0），M（）故

　　而

　　（3）设PQ方程为，由

　　得依题意 ∵

　　∴ ①及 ③

　　由①②③④得，从而所以直线PQ方程为

　　高中数学平面解析几何初步知识点总结

　　平面解析几何初步：

　　①直线与方程是解析几何的基础，是重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现；间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等综合为主，多为中、高难度，往往作为把关题出现在题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在中高考，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。

　　②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。

　　直线方程及其应用

　　直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容。应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他综合的问题是比较棘手的。

　　难点磁场

　　已知a＜1，b＜1，c＜1，求证：abc+2＞a+b+c.

　　案例探究

　　［例1］某校一年级为配合素质，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α（90°≤α＜180°）镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m，（a＞b）。问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

　　命题意图：本题是一个非常实际的问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为问题的。

　　知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值。

　　错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值。如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值。都将使问题变得复杂起来。

　　技巧与：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值。

　　解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C（x，0）（x＞0），欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值。

　　由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为（acosα，asinα）、（bcosα，bsinα），于是直线AC、BC的斜率分别为：

　　kAC=tanxCA=

　　于是tanACB=

　　由于∠ACB为锐角，且x＞0，则tanACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C（，0），因此，学生距离镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳。

　　［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？

　　命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解。

　　知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解。

　　错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设。

　　技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解。

　　解：设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件

　　为由

　　∴A点的坐标为（，）

　　由

　　∴B点的坐标为（25，）

　　所以满足约束条件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三角形区域（如下图）

　　由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为（25，），但注意到x∈N，y∈N*，故取y=37.

　　故有买桌子25张，椅子37张是最好选择。

　　［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后,高中数学，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px（p＞0）。一光源在点M（，4）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点 Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M（如下图所示）

　　（1）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），证明：y1.y2=－p2；

　　（2）求抛物线的方程；

　　（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由。

　　命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用。本题是一道与中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。

　　知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程。

　　错解分析：在证明第（1）问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时。

　　技巧与方法：点关于直线对称是解决第（2）、第（3）问的关键。

　　（1）证明：由抛物线的光学性质及题意知

　　光线PQ必过抛物线的焦点F（，0），

　　设直线PQ的方程为y=k（x－） ①

　　由①式得x=y+，将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0，由韦达定理，y1y2=－p2.

　　当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p，同样得到y1.y2=